Strona główna - Katedra Mechaniki i Inżynierii Obliczeniowej

Przekształcenia całkowe są działem matematyki stosowanej opierającym się na poznaniu podstawowych własności oraz zastosowań transformaty Laplace’a oraz transformaty Fouriera. Transformata Laplace’a wykorzystywana jest głównie w cyfrowym przetwarzaniu sygnałów, elektronice oraz automatyce. Zastosowanie w automatyce polega między innymi na tym, że chcąc poznać dynamiczne własności obiektu, pytamy o jego transmitancję, która wyrażona jest za pomocą przekształcenia Laplace'a.
W ramach tego przedmiotu student zapoznaje się z teorią liczb zespolonych, poznaje podstawowe własności przekształcenia Laplace’a oraz umiejętność rozwiązywania liniowych równań różniczkowych zwyczajnych, równań całkowych oraz równań różniczkowo-całkowych za pomocą transformaty Laplace’a. Wprowadzona jest również teoria szeregów Fouriera mająca szerokie zastosowanie w wielu zagadnieniach (równania różniczkowe, teoria drgań)-wszędzie tam, gdzie zachodzi potrzeba zastąpienia danej funkcji okresowej o znanym okresie, w sposób dokładny lub przybliżony, sumą trygonometryczną.

Tematyka wykładów

Wprowadzenie do teorii liczb zespolonych
· Definicja liczb zespolonych,
· Postacie liczb zespolonych (postać kanoniczna, postać trygonometryczna, postać wykładnicza),
· Interpretacja geometryczna liczb zespolonych,
· Podstawowe własności modułu oraz sprzężenia liczb zespolonych,
· Działania algebraiczne na liczbach zespolonych,
· Wzory Moivre’a,
· Wzory Eulera,
· Pierwiastkowanie liczb zespolonych,
· Rozwiązywanie równań stopnia drugiego zmiennej zespolonej.
Funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej, funkcja zespolona zmiennej zespolonej – część I
· Definicja funkcji zespolonej zmiennej rzeczywistej,
· Różniczkowanie funkcji zespolonej zmiennej rzeczywistej,
· Całkowanie funkcji zespolonej zmiennej rzeczywistej,
· Definicja funkcji zespolonej zmiennej zespolonej,
· Określanie dziedziny oraz części rzeczywistej i urojonej funkcji zespolonej zmiennej zespolonej,
· Odwzorowania przekształcające krzywą leżącą w płaszczyźnie (x, y) na krzywą leżącą w płaszczyźnie (u, v),
· Zadania na określanie krzywej spełniającej dane równanie zespolone,
· Obliczanie pochodnej funkcji zespolonej zmiennej zespolonej,
· Badanie holomorficzności funkcji,
· Znajdowanie części rzeczywistej (urojonej) funkcji zespolonej na podstawie części urojonej (rzeczywistej).
Funkcja zespolona zmiennej zespolonej – część II
· Obliczanie całek krzywoliniowych po krzywej regularnej,
· Obliczanie całek po krzywej zamkniętej (wzór całkowy Cauchy’ego, uogólniony wzór całkowy Cauchy’ego).
Przekształcenie Laplace’a
· Definicja przekształcenia Laplace’a,
· Własności przekształcenia Laplace’a,
· Wyznaczanie obrazu, gdy znany jest oryginał,
· Obliczanie z definicji transformaty Laplace’a.
Przekształcenie odwrotne względem przekształcenia Laplace’a
· Definicja przekształcenia odwrotnego względem przekształcenia Laplace’a,
· Własności przekształcenia odwrotnego względem przekształcenia Laplace’a,
· Wyznaczanie oryginału, gdy znana jest jego transformata (metoda pośrednia, zastosowanie wzoru Borela o splocie).
Zastosowanie przekształcenia Laplace’a
· Rozwiązywanie równań różniczkowych liniowych rzędu n przy zadanych warunkach początkowych,
· Rozwiązywanie układów równań różniczkowych liniowych,
· Rozwiązywanie równań całkowych typu splotu oraz równań różniczkowo-całkowych.
Szeregi Fouriera
· Definicja szeregu Fouriera,
· Rozwinięcie funkcji f(x) w szereg Fouriera (dla funkcji parzystej, dla funkcji nieparzystej, dla funkcji dowolnej),
· Rozwinięcie funkcji f(x) o okresie 2L w szereg Fouriera (dla funkcji parzystej, dla funkcji nieparzystej, dla funkcji dowolnej).